微分積分例

$\sqrt{1 + x}$

ステップ 1

$\sqrt{1 + x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{1 + x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{1 + x} d x$

ステップ 4

$u = 1 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 1 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 4.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} d u$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8

答えは関数 $f (x) = \sqrt{1 + x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例