微分積分例

$\cos^{3} (x)$

ステップ 1

$\cos^{3} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \cos^{3} (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \cos^{3} (x) d x$

ステップ 4

$\cos^{2} (x)$ を因数分解します。

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

ステップ 6

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 6.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 1 - u^{2} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d u + \int - u^{2} d u$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$u + C + \int - u^{2} d u$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$u + C - \int u^{2} d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 11

簡約します。

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \cos^{3} (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$

微分積分 例

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