微分積分例

$f (p) = 4 {(p^{2} - 1)}^{3} (2 p)$

ステップ 1

関数 $F (p)$ は、微分係数 $f (p)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (p) = \int f (p) d p$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (p) = \int 4 {(p^{2} - 1)}^{3} (2 p) d p$

ステップ 3

$2$ に $4$ をかけます。

$\int 8 {(p^{2} - 1)}^{3} p d p$

ステップ 4

$8$ は $p$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int {(p^{2} - 1)}^{3} p d p$

ステップ 5

$u = p^{2} - 1$ とします。次に $d u = 2 p d p$ すると、 $\frac{1}{2} d u = p d p$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = p^{2} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d p}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$p^{2} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d p} [p^{2} - 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $p^{2} - 1$ の $p$ に関する積分は $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 1]$

ステップ 5.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ は $n p^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 p + \frac{d}{d p} [- 1]$

ステップ 5.1.4

$- 1$ は $p$ について定数なので、 $p$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 p + 0$

ステップ 5.1.5

$2 p$ と $0$ をたし算します。

$2 p$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$8 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

ステップ 6

$u^{3}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$8 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{2} \int u^{3} d u$

ステップ 8.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u^{3} d u$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u^{3} d u$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u^{3} d u$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{1} \int u^{3} d u$

ステップ 8.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \int u^{3} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ を $4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ に書き換えます。

$4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

ステップ 10.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

ステップ 10.2.2.2

式を書き換えます。

$1 u^{4} + C$

ステップ 10.2.3

$u^{4}$ に $1$ をかけます。

$u^{4} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $p^{2} - 1$ で置き換えます。

${(p^{2} - 1)}^{4} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (p) = 4 {(p^{2} - 1)}^{3} (2 p)$ の不定積分です。

$F (p) =$ ${(p^{2} - 1)}^{4} + C$

微分積分 例

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