微分積分例

$\arctan (\frac{x}{2})$

ステップ 1

$\arctan (\frac{x}{2})$ を関数で書きます。

$f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \arctan (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 4

$u = \arctan (\frac{x}{2})$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int x \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$x$ と $\frac{2}{x^{2} + 4}$ をまとめます。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 5.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)$

ステップ 7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

ステップ 8

$u = x^{2} + 4$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = x^{2} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$x^{2} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 8.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 8.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 8.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 9.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 11.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 11.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 11.2.2.2

共通因数を約分します。

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 11.2.2.3

式を書き換えます。

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 11.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 12

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$

ステップ 13

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$ を $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$ に書き換えます。

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

微分積分 例

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