微分積分例

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

ステップ 1

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ を関数で書きます。

$f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

ステップ 4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

ステップ 5

$u = 3 x^{4} + 3$ とします。次に $d u = 12 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 3 x^{4} + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$3 x^{4} + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $3 x^{4} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.3.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} + 0$

ステップ 5.1.4.2

$12 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$12 x^{3}$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

ステップ 6

$u^{9}$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{12}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{12}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{12}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

ステップ 8.2

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{9}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{10} u^{10}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{10}$ をかけます。

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

ステップ 10.2.2

$3$ に $10$ をかけます。

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $3 x^{4} + 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$

微分積分 例

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