微分積分例

$f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x) d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{7 x} d x + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

ステップ 4

$u_{1} = 7 x$ とします。次に $d u_{1} = 7 d x$ すると、 $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{1} = 7 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$7 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 4.1.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$7$ に $1$ をかけます。

$7$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

ステップ 5

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

ステップ 6

$\frac{1}{7}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

ステップ 7

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

ステップ 8

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (3 x) d x$

ステップ 9

$u_{2} = 3 x$ とします。次に $d u_{2} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u_{2} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 9.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 10

$\sec^{2} (u_{2})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{3} d u_{2}$

ステップ 11

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 (\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 12

$\frac{1}{3}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 13

$\tan (u_{2})$ の微分係数が $\sec^{2} (u_{2})$ なので、 $\sec^{2} (u_{2})$ の積分は $\tan (u_{2})$ です。

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} (\tan (u_{2}) + C)$

ステップ 14

簡約します。

$\frac{1}{7} e^{u_{1}} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

ステップ 15

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$u_{1}$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

ステップ 15.2

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$

微分積分 例

微分積分例