微分積分例

$f (x) = \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 6

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 7.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 7.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 7.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

ステップ 9

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 10

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 10.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 10.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 10.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{- 2} d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 (- x^{- 1} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} + 7 (- x^{- 1}) + C$

ステップ 12.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- 1} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- 1} + C$

微分積分 例

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