微分積分例

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を $6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2}$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

ステップ 3.1.2

$x^{2}$ を $- 17 x^{4}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

ステップ 3.1.3

$x^{2}$ を $9 x^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

ステップ 3.1.4

$x^{2}$ を $10 x^{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

ステップ 3.1.5

$x^{2}$ を $x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2})$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

ステップ 3.1.6

$x^{2}$ を $x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2}) + x^{2} (9 x)$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

ステップ 3.1.7

$x^{2}$ を $x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 10$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{3}} d x$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{2} x} d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{2} x} d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10}{x} d x$

ステップ 4

$6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10$ を $x$ で割ります。

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ステップ 4.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$6 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x$

$10$

ステップ 4.2

被除数 $6 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$6 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$

ステップ 4.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			+	$6 x^{3}$	+	$0$

ステップ 4.4

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x^{3} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$

ステップ 4.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$

ステップ 4.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$

ステップ 4.7

被除数 $- 17 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$

ステップ 4.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$0$

ステップ 4.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 17 x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$

ステップ 4.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$

ステップ 4.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$

ステップ 4.12

被除数 $9 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$

ステップ 4.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							+	$9 x$	+	$0$

ステップ 4.14

式は被除数から引く必要があるので、 $9 x + 0$ の符号をすべて変更します。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							-	$9 x$	-	$0$

ステップ 4.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							-	$9 x$	-	$0$
									+	$10$

ステップ 4.16

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 6 x^{2} - 17 x + 9 + \frac{10}{x} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 6 x^{2} d x + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

ステップ 6

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int x^{2} d x + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

ステップ 8

$- 17$ は $x$ に対して定数なので、 $- 17$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 \int x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

ステップ 12

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + 10 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 13

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + 10 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 14

簡約します。

$2 x^{3} - \frac{17 x^{2}}{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$2 x^{3} - \frac{17}{2} x^{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 x^{3} - \frac{17}{2} x^{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例