微分積分例

$f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}} d x$

ステップ 3

$x^{6}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

ステップ 4

${(x^{6})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6} d x$

ステップ 5

$(5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\int (5 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

ステップ 5.4

$3$ から $6$ を引きます。

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

ステップ 5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6 - 6} d x$

ステップ 5.6

$6$ から $6$ を引きます。

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{0} d x$

ステップ 5.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 \cdot 1 d x$

ステップ 5.8

$2$ に $1$ をかけます。

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 d x$

ステップ 5.9

$5 x^{- 6}$ と $- 4 x^{- 3}$ を並べ替えます。

$\int - 4 x^{- 3} + 5 x^{- 6} + 2 d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

ステップ 7

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

ステップ 9.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

ステップ 10

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{- 6} d x + \int 2 d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{- 6}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ です。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 2 d x$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$x^{- 5}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 2 d x$

ステップ 12.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 5}$ を分母に移動させます。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 2 d x$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 2 x + C$

ステップ 14

簡約します。

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$

微分積分 例

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