微分積分例

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 3.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

ステップ 3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

ステップ 3.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ です。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8

簡約します。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

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