微分積分例

$f (x) = \sqrt{3 x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{3 x} d x$

ステップ 3

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 4

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = \sqrt{3 x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例