微分積分例

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 6.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 6.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 6.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 6.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8

簡約します。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例