微分積分例

$\sqrt{9 - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{9 - x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \sin (t)$ とします。次に $d x = 3 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

積の法則を $3 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.3

$9$ を $- 9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.4

$9$ を $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ を ${(3 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 5.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 5.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 5.2.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 5.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 5.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

ステップ 6

$9$ は $t$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

ステップ 7

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 12

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 12.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 12.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 12.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 12.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 13

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 15

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 16

簡約します。

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 17.1

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 17.2

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 17.3

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

ステップ 18.2

分配則を当てはめます。

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

ステップ 18.3

$\frac{9}{2}$ と $\arcsin (\frac{x}{3})$ をまとめます。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

ステップ 18.4

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ を掛けます。

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ステップ 18.4.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ をかけます。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 18.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

ステップ 19

項を並べ替えます。

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

ステップ 20

答えは関数 $f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

微分積分 例

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