微分積分例

$f (x) = {(3 x - 2)}^{2}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(3 x - 2)}^{2} d x$

ステップ 3

$u = 3 x - 2$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 3 x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$3 x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $3 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{2} \frac{1}{3} d u$

ステップ 4

$u^{2}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{2}}{3} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int u^{2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3 \cdot 3} u^{3} + C$

ステップ 7.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{9} u^{3} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $3 x - 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{9} {(3 x - 2)}^{3} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = {(3 x - 2)}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{9} {(3 x - 2)}^{3} + C$

微分積分 例

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