微分積分例

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

ステップ 3

$u_{2} = \cot (π x)$ とします。次に $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ すると、 $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{2} = \cot (π x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\cot (π x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

ステップ 3.1.2

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $π x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 3.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cot (u_{1})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{1})$ です。

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 3.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 3.1.3

微分します。

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ステップ 3.1.3.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

ステップ 3.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.1.3.3.1

$π$ に $1$ をかけます。

$- \csc^{2} (π x) π$

ステップ 3.1.3.3.2

$- \csc^{2} (π x) π$ の因数を並べ替えます。

$- π \csc^{2} (π x)$

ステップ 3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

ステップ 4

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

ステップ 5

$\frac{1}{π}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 8

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 9

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

ステップ 11

$u_{2}$ のすべての発生を $\cot (π x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

ステップ 12.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1

$π$ を $- π \cot (π x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

ステップ 12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

ステップ 12.2.3

式を書き換えます。

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

ステップ 12.3

$\frac{1}{π}$ と $e^{\cot (π x)}$ をまとめます。

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

微分積分 例

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