微分積分例

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (2 x) d x$

ステップ 4

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 5

$\sin^{2} (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{8} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 8

半角公式を利用して $\sin^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{16} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 13

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 14

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 14.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 14.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 14.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 14.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 14.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 14.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 15

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

ステップ 17

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

ステップ 18

簡約します。

$\frac{1}{16} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 19

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 19.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 19.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

ステップ 19.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

各項を簡約します。

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ステップ 20.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

ステップ 20.1.2

$\sin (4 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

ステップ 20.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

ステップ 20.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 20.3.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

ステップ 20.3.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

ステップ 20.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

ステップ 20.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

ステップ 20.4

$\frac{1}{8}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

ステップ 20.5

$\frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ を掛けます。

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ステップ 20.5.1

$\frac{1}{16}$ に $\frac{\sin (4 x)}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{16 \cdot 2} + C$

ステップ 20.5.2

$16$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

ステップ 21

項を並べ替えます。

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

ステップ 22

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

微分積分 例

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