微分積分例

$f (x) = 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x) d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 8 \sqrt{x} d x + \int 5 \cos (x) d x$

ステップ 4

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int \sqrt{x} d x + \int 5 \cos (x) d x$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 \cos (x) d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 \cos (x) d x$

ステップ 7

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \cos (x) d x$

ステップ 8

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\sin (x) + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$8 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$8$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{8 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

ステップ 9.2.2

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{16}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{16}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

微分積分 例