微分積分例

$\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

ステップ 1

$\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

ステップ 4

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$10 \int \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

ステップ 5

$u = 3 - 5 x$ とします。次に $d u = - 5 d x$ すると、 $- \frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 3 - 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$3 - 5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

ステップ 5.1.2

微分します。

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ステップ 5.1.2.1

総和則では、 $3 - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 5.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 5 \cdot 1$

ステップ 5.1.3.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$0 - 5$

ステップ 5.1.4

$0$ から $5$ を引きます。

$- 5$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$10 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$10 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

ステップ 6.2

$\frac{1}{u^{2}}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$10 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

ステップ 6.3

$5$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$10 \int - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$10 (- \int \frac{1}{5 u^{2}} d u)$

ステップ 8

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 \int \frac{1}{5 u^{2}} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- 10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

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ステップ 10.1.1

$\frac{1}{5}$ と $- 10$ をまとめます。

$\frac{- 10}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 10.1.2

$- 10$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.2.1

$5$ を $- 10$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot - 2}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 10.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.2.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 10.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 10.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 10.1.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 10.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 10.2.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 10.2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 10.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \int u^{- 2} d u$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$- 2 (- u^{- 1} + C)$ を $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ に書き換えます。

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \frac{1}{u} + C$

ステップ 12.2.2

$2$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$\frac{2}{u} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $3 - 5 x$ で置き換えます。

$\frac{2}{3 - 5 x} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{2}{3 - 5 x} + C$

微分積分 例

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