微分積分例

$f (x) = 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 5

$\sec (x)$ の微分係数が $\sec (x) \tan (x)$ なので、 $\sec (x) \tan (x)$ の積分は $\sec (x)$ です。

$2 (\sec (x) + C) + \int - 2 x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 6

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$2 (\sec (x) + C) - 2 \int x^{3} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

ステップ 8.2.2

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

ステップ 8.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

ステップ 8.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ です。

$2 (\sec (x) + C) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 10

簡約します。

$2 \sec (x) - \frac{x^{4}}{2} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$2 \sec (x) - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = 2 \sec (x) \tan (x) - 2 x^{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 \sec (x) - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

微分積分 例

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