微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 8}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 8}$ を ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $x^{2} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 1.1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 1.1.10

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.11

項を簡約します。

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ステップ 1.1.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 1.1.11.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 1.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.11.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.11.5

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sqrt{x^{2} + 8}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sqrt{{(0)}^{2} + 8}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sqrt{0 + 8}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $8$ をたし算します。

$\sqrt{8}$

ステップ 4.1.2.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\sqrt{4 (2)}$

ステップ 4.1.2.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 2 \sqrt{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例