微分積分例

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = {(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{h}$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} h}$

ステップ 4.4

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} h}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{h x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例