微分積分例

$H (x) = \frac{5}{6 x^{5}}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$H (x + h) = \frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

ステップ 2.1.2

最終的な答えは $\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$ です。

$\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$H (x + h) = \frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

$H (x) = \frac{5}{6 x^{5}}$

$H (x + h) = \frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$

$H (x) = \frac{5}{6 x^{5}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{H (x + h) - H x}{h} = \frac{\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}} - (\frac{5}{6 x^{5}})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}} \cdot \frac{x^{5}}{x^{5}} - \frac{5}{6 x^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{5}{6 x^{5}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}} \cdot \frac{x^{5}}{x^{5}} - \frac{5}{6 x^{5}} \cdot \frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6 {(x + h)}^{5} x^{5}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{5}{6 {(x + h)}^{5}}$ に $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ をかけます。

$\frac{\frac{5 x^{5}}{6 {(x + h)}^{5} x^{5}} - \frac{5}{6 x^{5}} \cdot \frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{5}{6 x^{5}}$ に $\frac{{(x + h)}^{5}}{{(x + h)}^{5}}$ をかけます。

$\frac{\frac{5 x^{5}}{6 {(x + h)}^{5} x^{5}} - \frac{5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$6 {(x + h)}^{5} x^{5}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{5 x^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}} - \frac{5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{5 x^{5} - 5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

$5$ を $5 x^{5} - 5 {(x + h)}^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.5.1.1

$5$ を $5 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (x^{5}) - 5 {(x + h)}^{5}}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

$5$ を $- 5 {(x + h)}^{5}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (x^{5}) + 5 (- {(x + h)}^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

$5$ を $5 (x^{5}) + 5 (- {(x + h)}^{5})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (x^{5} - {(x + h)}^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

二項定理を利用します。

$\frac{\frac{5 (x^{5} - (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - (5 x^{4} h) - (10 x^{3} h^{2}) - (10 x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

簡約します。

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ステップ 4.1.5.4.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - (10 x^{3} h^{2}) - (10 x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.4.2

$10$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - 10 (x^{3} h^{2}) - (10 x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.4.3

$10$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - 10 (x^{3} h^{2}) - 10 (x^{2} h^{3}) - (5 x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.4.4

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 (x^{4} h) - 10 (x^{3} h^{2}) - 10 (x^{2} h^{3}) - 5 (x h^{4}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

括弧を削除します。

$\frac{\frac{5 (x^{5} - x^{5} - 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

$x^{5}$ から $x^{5}$ を引きます。

$\frac{\frac{5 (0 - 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

$0$ から $5 x^{4} h$ を引きます。

$\frac{\frac{5 (- 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

$h$ を $- 5 x^{4} h - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.5.8.1

$h$ を $- 5 x^{4} h$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) - 10 x^{3} h^{2} - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.2

$h$ を $- 10 x^{3} h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) - 10 x^{2} h^{3} - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.3

$h$ を $- 10 x^{2} h^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) - 5 x h^{4} - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.4

$h$ を $- 5 x h^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) - h^{5})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.5

$h$ を $- h^{5}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.6

$h$ を $h (- 5 x^{4}) + h (- 10 x^{3} h)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.7

$h$ を $h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h) + h (- 10 x^{2} h^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.8

$h$ を $h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2}) + h (- 5 x h^{3})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3}) + h (- h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.9

$h$ を $h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3}) + h (- h^{4})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 (h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

$\frac{\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

まとめる。

$\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}) \cdot 1}{6 x^{5} {(x + h)}^{5} h}$

ステップ 4.4

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 h (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}) \cdot 1}{6 x^{5} {(x + h)}^{5} h}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5 (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4}) \cdot 1}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.5

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 (- 5 x^{4} - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- 5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (5 x^{4}) - 10 x^{3} h - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $- 10 x^{3} h$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (5 x^{4}) - (10 x^{3} h) - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.8

$- 1$ を $- (5 x^{4}) - (10 x^{3} h)$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h) - 10 x^{2} h^{2} - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.9

$- 1$ を $- 10 x^{2} h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h) - (10 x^{2} h^{2}) - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.10

$- 1$ を $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h) - (10 x^{2} h^{2})$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) - 5 x h^{3} - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.11

$- 1$ を $- 5 x h^{3}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) - (5 x h^{3}) - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.12

$- 1$ を $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2}) - (5 x h^{3})$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) - h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.13

$- 1$ を $- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3}) - h^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.14

式を簡約します。

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ステップ 4.14.1

$- (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})$ を $- 1 (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})$ に書き換えます。

$\frac{5 (- 1 (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}))}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 4.14.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 (5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4})}{6 x^{5} {(x + h)}^{5}}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例