微分積分例

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ です。

$\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} - (\frac{1 - x}{3 + x})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 + x}{3 + x}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{1 - x}{3 + x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(3 + x + h) (3 + x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ に $\frac{3 + x}{3 + x}$ をかけます。

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{1 - x}{3 + x}$ に $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ をかけます。

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$(3 + x + h) (3 + x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x) (3 + x + h)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5

因数分解した形で $\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 - x - h) (3 + x)$ を展開します。

$\frac{\frac{1 \cdot 3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.2.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{3 + x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.2.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - (x \cdot x) - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

$x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 \cdot 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + 1 x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 1 + x) (3 + x + h)$ を展開します。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 1 \cdot 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.8.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.3

$- 1 h$ を $- h$ に書き換えます。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.4

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 \cdot x + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.5

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 x + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.9

$- x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{\frac{- 2 x - x^{2} - 3 h - h x + 0 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.11

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{- x^{2} - 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\frac{- 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.13

$- 3 h$ から $h$ を引きます。

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.14

$- h x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.15

$- h x$ と $x h$ をたし算します。

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ステップ 4.1.5.15.1

$h$ を移動させます。

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h - 1 x h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.15.2

$- 1 x h$ と $x h$ をたし算します。

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h + 0}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.16

$- 2 x + 2 x - 4 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.17

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{\frac{0 - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.18

$0$ から $4 h$ を引きます。

$\frac{\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

$h$ を $- 4 h$ で因数分解します。

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

ステップ 4.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例