微分積分例

$\cos (x y) = x - y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$- \sin (x y) (x y' + y)$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

ステップ 2.6.2

項を並べ替えます。

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 - y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 1 - y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ の因数を並べ替えます。

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 1 - y'$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $y'$ を足します。

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) + y' = 1$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $y \sin (x y)$ を足します。

$- x y' \sin (x y) + y' = 1 + y \sin (x y)$

ステップ 5.4

$y'$ を $- x y' \sin (x y) + y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$y'$ を $- x y' \sin (x y)$ で因数分解します。

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $1$ 乗します。

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

ステップ 5.4.3

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1 = 1 + y \sin (x y)$

ステップ 5.4.4

$y'$ を $y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1$ で因数分解します。

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$

ステップ 5.5

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ の各項を $- x \sin (x y) + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ の各項を $- x \sin (x y) + 1$ で割ります。

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$- x \sin (x y) + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

ステップ 5.5.3.2

$- 1$ を $- x \sin (x y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) + 1}$

ステップ 5.5.3.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)}$

ステップ 5.5.3.4

$- 1$ を $- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) - 1)}$

ステップ 5.5.3.5

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.5.3.5.1

$- (x \sin (x y) - 1)$ を $- 1 (x \sin (x y) - 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) - 1)}$

ステップ 5.5.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$

微分積分 例

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