微分積分例

$H (u) = (u - \sqrt{u}) (u + \sqrt{u})$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (u + h) - f u}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = u + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $u$ を $u + h$ で置換えます。

$H (u + h) = ((u + h) - \sqrt{u + h}) ((u + h) + \sqrt{u + h})$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(u + h - \sqrt{u + h}) (u + h + \sqrt{u + h})$ を展開します。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

ステップ 2.1.2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.1

$u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.1.2.2.1.1

$u \sqrt{u + h}$ と $- \sqrt{u + h} u$ について因数を並べ替えます。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - u \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

ステップ 2.1.2.2.1.2

$u \sqrt{u + h}$ から $u \sqrt{u + h}$ を引きます。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} + 0 - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

ステップ 2.1.2.2.1.3

$u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h}$ と $0$ をたし算します。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

ステップ 2.1.2.2.1.4

$h \sqrt{u + h}$ と $- \sqrt{u + h} h$ について因数を並べ替えます。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

ステップ 2.1.2.2.1.5

$h \sqrt{u + h}$ から $h \sqrt{u + h}$ を引きます。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + 0 - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

ステップ 2.1.2.2.1.6

$u \cdot u + u h + h u + h \cdot h$ と $0$ をたし算します。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

ステップ 2.1.2.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.2.1

$u$ に $u$ をかけます。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$h$ に $h$ をかけます。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

ステップ 2.1.2.2.2.3

$- \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.2.2.3.1

$\sqrt{u + h}$ を $1$ 乗します。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

ステップ 2.1.2.2.2.3.2

$\sqrt{u + h}$ を $1$ 乗します。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

ステップ 2.1.2.2.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{1 + 1}$

ステップ 2.1.2.2.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{2}$

ステップ 2.1.2.2.2.4

${\sqrt{u + h}}^{2}$ を $u + h$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.2.2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u + h}$ を ${(u + h)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {({(u + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.1.2.2.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.1.2.2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.2.2.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.2.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.2.2.2.4.4.2

式を書き換えます。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

ステップ 2.1.2.2.2.4.5

簡約します。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

ステップ 2.1.2.2.2.5

分配則を当てはめます。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - u - h$

ステップ 2.1.2.3

$u h$ と $h u$ をたし算します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$u$ と $h$ を並べ替えます。

$H (u + h) = u^{2} + h u + h u + h^{2} - u - h$

ステップ 2.1.2.3.2

$h u$ と $h u$ をたし算します。

$H (u + h) = u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

ステップ 2.1.2.4

最終的な答えは $u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$ です。

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

ステップ 2.2

並べ替えます。

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ステップ 2.2.1

$- u$ を移動させます。

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - h - u$

ステップ 2.2.2

$u^{2}$ を移動させます。

$2 h u + h^{2} + u^{2} - h - u$

ステップ 2.2.3

$2 h u$ と $h^{2}$ を並べ替えます。

$h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{H (u + h) - H u}{h} = \frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - (u^{2} - u)}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} - - u}{h}$

ステップ 4.1.2

$- - u$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + 1 u}{h}$

ステップ 4.1.2.2

$u$ に $1$ をかけます。

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + u}{h}$

ステップ 4.1.3

$u^{2}$ から $u^{2}$ を引きます。

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + 0 + u}{h}$

ステップ 4.1.4

$h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + u}{h}$

ステップ 4.1.5

$- u$ と $u$ をたし算します。

$\frac{h^{2} + 2 h u - h + 0}{h}$

ステップ 4.1.6

$h^{2} + 2 h u - h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{h^{2} + 2 h u - h}{h}$

ステップ 4.1.7

$h$ を $h^{2} + 2 h u - h$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.7.1

$h$ を $h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{h \cdot h + 2 h u - h}{h}$

ステップ 4.1.7.2

$h$ を $2 h u$ で因数分解します。

$\frac{h (h) + h (2 u) - h}{h}$

ステップ 4.1.7.3

$h$ を $- h$ で因数分解します。

$\frac{h (h) + h (2 u) + h \cdot - 1}{h}$

ステップ 4.1.7.4

$h$ を $h (h) + h (2 u)$ で因数分解します。

$\frac{h (h + 2 u) + h \cdot - 1}{h}$

ステップ 4.1.7.5

$h$ を $h (h + 2 u) + h \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

ステップ 4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$h + 2 u - 1$ を $1$ で割ります。

$h + 2 u - 1$

ステップ 4.2.2

$h$ と $2 u$ を並べ替えます。

$2 u + h - 1$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例