微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$5$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(a - h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $a$ の極限値を求めます。

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $5 a^{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.7

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.1.2.7.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.7.2

$5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.2.7.2.1

$a$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 a^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.7.2.2

$5 a^{2}$ から $5 a^{2}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

${(a - h)}^{2}$ を $(a - h) (a - h)$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 ((a - h) (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(a - h) (a - h)$ を展開します。

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ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a (a - h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

$a$ に $a$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.4

指数を足して $h$ に $h$ を掛けます。

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ステップ 1.3.4.1.4.1

$h$ を移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.4.2

$h$ に $h$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.1.6

$h^{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.2

$- a h$ から $h a$ を引きます。

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ステップ 1.3.4.2.1

$h$ を移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - 1 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4.2.2

$- a h$ から $a h$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.6.1

$5$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6.2

総和則では、 $a^{2} - 2 a h + h^{2}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6.3

$a^{2}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $a^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6.4

$- 2 a$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- 2 a h$ の微分係数は $- 2 a \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6.8

$0$ から $2 a$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7

$- 5 a^{2}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- 5 a^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.8

簡約します。

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ステップ 1.3.8.1

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a) + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.8.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.8.2.1

$- 2$ に $5$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.8.2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.8.2.3

$- 10 a + 10 h$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{1}$

ステップ 1.4

$- 10 a + 10 h$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} - 10 a + 10 h$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{h \to 0} 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

ステップ 2.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $10 a$ の極限値を求めます。

$- 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

ステップ 2.3

$10$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 10 a + 10 lim_{h \to 0} h$

ステップ 3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- 10 a + 10 \cdot 0$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$10$ に $0$ をかけます。

$- 10 a + 0$

ステップ 4.2

$- 10 a$ と $0$ をたし算します。

$- 10 a$

微分積分 例

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