微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 + h} - \sqrt{9}}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 + h} - \sqrt{9}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 + h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 + h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{9}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\sqrt{9}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 + lim_{h \to 0} h} - \sqrt{9}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{9 + 0} - \sqrt{9}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$9$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{9}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{9}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.6

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 3}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 + h} - \sqrt{9}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 + h} - \sqrt{9}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 + h} - \sqrt{9}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 + h} - \sqrt{3^{2}}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 + h} - 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

総和則では、 $\sqrt{9 + h} - 1 \cdot 3$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\sqrt{9 + h}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 + h}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d h} [\sqrt{9 + h}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 + h}$ を ${(9 + h)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(9 + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.2

$f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ および $g (h) = 9 + h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.5.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 + h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [9 + h] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 + h] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.2.3

$u$ のすべての発生を $9 + h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 + h] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.3

総和則では、 $9 + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.4

$9$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.9

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.5.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.11

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.12

$\frac{1}{2}$ と ${(9 + h)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.13

$\frac{{(9 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 + h)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 3]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6.2

$- 3$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.5

${(9 + h)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{9 + h}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 + h}} \cdot 1$

ステップ 1.6

$\frac{1}{2 \sqrt{9 + h}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 + h}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + h}}$

ステップ 2.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 + h}}$

ステップ 2.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 + h}}$

ステップ 2.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 + h}}$

ステップ 2.5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 + lim_{h \to 0} h}}$

ステップ 2.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + lim_{h \to 0} h}}$

ステップ 3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$9$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

ステップ 4.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 4.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{6}$

10進法形式：

$0.1\overline{6}$

微分積分 例

微分積分例