微分積分例

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

${(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

${(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 7

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 8

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 9

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 10

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 11

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ の極限値を求めます。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 12

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 12.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 12.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 13

答えを簡約します。

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ステップ 13.1

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 13.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 13.1.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 13.2

$x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ から $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ を引きます。

$0$

微分積分 例

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