微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{- 3} - 2^{- 3}}{h}$

ステップ 1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

極限の独立変数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

負の指数を分数に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - 2^{- 3}}{h}$

ステップ 1.1.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

ステップ 1.1.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

ステップ 1.1.2.2

$- \frac{1}{2^{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ に $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\frac{1}{2^{3}}$ に $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.1.2.3.3

${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 1.2

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 1.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 1.2.2

$\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}$ に $\frac{1}{h}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 1.3

$\frac{1}{2^{3}}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2.1.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2^{3}$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(2 + h)}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 2^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2.3.1.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.2.3.2

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を ${(2 + h)}^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.3.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.3.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.3.5

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.3.5.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot 0}$

ステップ 2.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{2^{3} \cdot 0}$

ステップ 2.1.3.6.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{8 \cdot 0}$

ステップ 2.1.3.6.3

$8$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8 - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $8 - {(2 + h)}^{3}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ です。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.4

$8$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.5

$\frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.5.1

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- {(2 + h)}^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]$ です。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.5.2

$f (h) = h^{3}$ および $g (h) = 2 + h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 + h$ とします。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.5.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.5.2.3

$u$ のすべての発生を $2 + h$ で置き換えます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.5.3

総和則では、 $2 + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.5.4

$2$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.5.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.5.7

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.5.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.6

$0$ から $3 {(2 + h)}^{2}$ を引きます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

ステップ 2.3.7

$f (h) = {(2 + h)}^{3}$ および $g (h) = h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ は $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

ステップ 2.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

ステップ 2.3.9

${(2 + h)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

ステップ 2.3.10

$f (h) = h^{3}$ および $g (h) = 2 + h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.10.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 + h$ とします。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}$

ステップ 2.3.10.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

ステップ 2.3.10.3

$u$ のすべての発生を $2 + h$ で置き換えます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

ステップ 2.3.11

総和則では、 $2 + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}$

ステップ 2.3.12

$2$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

ステップ 2.3.13

$0$ と $\frac{d}{d h} [h]$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}$

ステップ 2.3.15

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

ステップ 2.3.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.1

${(2 + h)}^{2}$ を ${(2 + h)}^{3} + h (3 {(2 + h)}^{2})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.1.1

${(2 + h)}^{2}$ を ${(2 + h)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

ステップ 2.3.16.1.2

${(2 + h)}^{2}$ を $h (3 {(2 + h)}^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} h \cdot 3}$

ステップ 2.3.16.1.3

${(2 + h)}^{2}$ を ${(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} (h \cdot (3))$ で因数分解します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + h \cdot (3))}$

ステップ 2.3.16.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.2.1

$3$ を $h$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + 3 \cdot h)}$

ステップ 2.3.16.2.2

$h$ と $3 h$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + 4 h)}$

ステップ 2.3.16.3

${(2 + h)}^{2}$ を $(2 + h) (2 + h)$ に書き換えます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 + h) (2 + h) (2 + 4 h)}$

ステップ 2.3.16.4

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + h) (2 + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 (2 + h) + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

ステップ 2.3.16.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

ステップ 2.3.16.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

ステップ 2.3.16.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.5.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

ステップ 2.3.16.5.1.2

$2$ を $h$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

ステップ 2.3.16.5.1.3

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

ステップ 2.3.16.5.2

$2 h$ と $2 h$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

ステップ 2.3.16.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)$ を展開します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{4 \cdot 2 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

ステップ 2.3.16.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.7.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

ステップ 2.3.16.7.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

ステップ 2.3.16.7.3

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

ステップ 2.3.16.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h \cdot h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

ステップ 2.3.16.7.5

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

ステップ 2.3.16.7.6

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

ステップ 2.3.16.7.7

$2$ を $h^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 \cdot h^{2} + h^{2} \cdot 4 h}$

ステップ 2.3.16.7.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{2} h}$

ステップ 2.3.16.7.9

指数を足して $h^{2}$ に $h$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.7.9.1

$h$ を移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h \cdot h^{2}}$

ステップ 2.3.16.7.9.2

$h$ に $h^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.7.9.2.1

$h$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1} h^{2}}$

ステップ 2.3.16.7.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1 + 2}}$

ステップ 2.3.16.7.9.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

ステップ 2.3.16.8

$16 h$ と $8 h$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

ステップ 2.3.16.9

$16 h^{2}$ と $2 h^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 3$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

ステップ 3.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

ステップ 3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(2 + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

ステップ 3.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

ステップ 3.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

ステップ 3.6

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

ステップ 3.7

$h$ が $0$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

ステップ 3.8

$24$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

ステップ 3.9

$18$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

ステップ 3.10

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

ステップ 3.11

$4$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0} h^{3}}$

ステップ 3.12

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $h^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

ステップ 4

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

ステップ 4.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

ステップ 4.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

ステップ 4.4

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{8}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{2^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 5.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$24$ に $0$ をかけます。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 5.5.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 5.5.3

$18$ に $0$ をかけます。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 5.5.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0}$

ステップ 5.5.5

$4$ に $0$ をかけます。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 0}$

ステップ 5.5.6

$8 + 0 + 0$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0}$

ステップ 5.5.7

$8 + 0$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0}$

ステップ 5.5.8

$8$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

ステップ 5.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

$- \frac{3}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

ステップ 5.6.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{- 3}{4 (2)} \cdot \frac{4}{8}$

ステップ 5.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 3}{4 \cdot 2} \cdot \frac{4}{8}$

ステップ 5.6.4

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{8}$

ステップ 5.7

$\frac{- 3}{2}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{- 3}{2 \cdot 8}$

ステップ 5.8

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 3}{16}$

ステップ 5.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{16}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{3}{16}$

10進法形式：

$- 0.1875$

微分積分 例

微分積分例