微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (2 + h) - \ln (2)}{h}$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} \frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.2

$\frac{1}{2}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} 2 + h)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + 0))}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (1)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.2.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.2

$f (h) = \ln (h)$ および $g (h) = \frac{2 + h}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2 + h}{2}$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{2 + h}{2}$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{2 + h}{2}} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{2 + h}{2}$ で割ります。

$lim_{h \to 0} \frac{1 \frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{2}{2 + h}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{2}$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $\frac{2 + h}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} (\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2 + h}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

共通因数を約分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.7.2

式を書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.8

総和則では、 $2 + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.9

$2$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.10

$0$ と $\frac{d}{d h} [h]$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.12

$\frac{1}{2 + h}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.13

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 2.3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{1}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2} \cdot 1$

ステップ 2.5

$\frac{1}{h + 2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

ステップ 3.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

ステップ 3.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2}$

ステップ 3.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

ステップ 4

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{0 + 2}$

ステップ 5

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例