微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 5 x}{\sin (4 x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 1.1.2.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 1.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 1.1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 1.1.2.5.1.2

$- 5$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 1.1.2.5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (4 \cdot 0)}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 5 x}{\sin (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

ステップ 1.3.5

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 1.3.5.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 1.3.5.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

ステップ 1.3.6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) (4 \cdot 1)}$

ステップ 1.3.8

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) \cdot 4}$

ステップ 1.3.9

$4$ を $\cos (4 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{4 \cos (4 x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x)}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

ステップ 2.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

ステップ 2.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

ステップ 2.7

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

ステップ 4.1.3

$0$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 5}{\cos (0)}$

ステップ 4.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 5}{1}$

ステップ 4.3

$- 5$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} \cdot - 5$

ステップ 4.4

$\frac{1}{4}$ と $- 5$ をまとめます。

$\frac{- 5}{4}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{5}{4}$

10進法形式：

$- 1.25$

微分積分 例

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