微分積分例

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ を $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

ステップ 2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ を展開します。

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

ステップ 3

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

ステップ 4

$x \ln (\frac{x + 1}{x})$ を $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3

極限を求めます。

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ステップ 5.1.2.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.1.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.2.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.3.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.5

極限を求めます。

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ステップ 5.1.2.5.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.5.2

答えを簡約します。

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ステップ 5.1.2.5.2.1

$1 + 0$ を $1$ で割ります。

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.5.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.2.5.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 5.1.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x + 1}{x}$ とします。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x + 1}{x}$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{x + 1}{x}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.4

$\frac{x}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.5

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.6

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.10

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.13

$\frac{x}{x + 1}$ に $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.14

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.14.1

$x$ を $(x + 1) x^{2}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.14.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.14.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.15.1

分配則を当てはめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.2

分配則を当てはめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.15.3.1

$x$ から $x$ を引きます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.3.2

$0$ から $1 \cdot 1$ を引きます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.4

項をまとめます。

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ステップ 5.3.15.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.4.5

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.5

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.15.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.5.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.15.5.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 5.3.16

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

ステップ 5.3.17

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

ステップ 5.3.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

ステップ 5.5

因数をまとめます。

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ステップ 5.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

ステップ 5.5.2

$\frac{1}{x (x + 1)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

ステップ 5.5.3

$\frac{1}{x (x + 1)}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

ステップ 5.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

ステップ 5.6.2.2

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}}$

ステップ 6

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.1.2

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.5

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 7.6

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{1}}$

ステップ 9.2

$1$ を $1$ で割ります。

$e^{1}$

ステップ 10

簡約します。

$e$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e$

10進法形式：

$2.71828182 \dots$

微分積分 例

微分積分例