微分積分例

$lim_{k \to 8} {(1 - \frac{1}{k})}^{k}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{k \to 8} {(\frac{k}{k} - \frac{1}{k})}^{k}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{k \to 8} {(\frac{k - 1}{k})}^{k}$

ステップ 2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.1

${(\frac{k - 1}{k})}^{k}$ を $e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$ に書き換えます。

$lim_{k \to 8} e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$

ステップ 2.2

$k$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})$ を展開します。

$lim_{k \to 8} e^{k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{k \to 8} k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

ステップ 3.2

$k$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (\frac{k - 1}{k})}$

ステップ 3.3

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} \frac{k - 1}{k})}$

ステップ 3.4

$k$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1}{lim_{k \to 8} k})}$

ステップ 3.5

$k$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - lim_{k \to 8} 1}{lim_{k \to 8} k})}$

ステップ 3.6

$k$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

ステップ 4

すべての $k$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$k$ を $8$ に代入し、 $k$ の極限値を求めます。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

ステップ 4.2

$k$ を $8$ に代入し、 $k$ の極限値を求めます。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

ステップ 4.3

$k$ を $8$ に代入し、 $k$ の極限値を求めます。

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

対数の中の $8$ を移動させて $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})$ を簡約します。

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8})}$

ステップ 5.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(\frac{8 - 1}{8})}^{8}$

ステップ 5.3.2

$8$ から $1$ を引きます。

${(\frac{7}{8})}^{8}$

ステップ 5.4

積の法則を $\frac{7}{8}$ に当てはめます。

$\frac{7^{8}}{8^{8}}$

ステップ 5.5

$7$ を $8$ 乗します。

$\frac{5764801}{8^{8}}$

ステップ 5.6

$8$ を $8$ 乗します。

$\frac{5764801}{16777216}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5764801}{16777216}$

10進法形式：

$0.34360891 \dots$

微分積分 例

微分積分例