微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

ステップ 1.1.3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

ステップ 1.1.3.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 1.1.3.4

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.1.3.5.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 1.1.3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 1.1.3.5.3

$\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

ステップ 1.1.3.5.4

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

ステップ 1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

ステップ 1.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

ステップ 1.3.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $\sin (x) - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

ステップ 1.3.8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.9.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

ステップ 1.3.9.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) - - \sin (x)}$

ステップ 1.3.9.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) + 1 \sin (x)}$

ステップ 1.3.9.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 2.2

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 2.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 2 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 2.5

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

ステップ 2.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

ステップ 2.7

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 3

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 3.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 3.3

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.1.1.2

共通因数を約分します。

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.1.1.3

式を書き換えます。

$- 2 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 \frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}$

ステップ 4.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.2.4

因数分解した形で $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$- 2 \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.2.4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$- 2 \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{1}}$

ステップ 4.2.4.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- 2 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 4.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 4.4.6.5

指数を求めます。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.5.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.5.3

式を書き換えます。

$- \sqrt{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \sqrt{2}$

10進法形式：

$- 1.41421356 \dots$

微分積分 例

微分積分例