微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (2 x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.4

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.5.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.5.3

$\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.2.5.4

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

ステップ 1.1.3.3.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sin (x) - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

ステップ 1.3.5

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 1.3.5.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 1.3.5.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 1.3.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 1.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}$

ステップ 1.3.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{- 2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (2 x)}$

ステップ 2.2

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

ステップ 2.3

$x$ が $\frac{π}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

ステップ 2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

ステップ 2.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

ステップ 2.6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

ステップ 2.7

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 3

すべての $x$ に $\frac{π}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 3.2

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

ステップ 3.3

$x$ を $\frac{π}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 4.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 4.2.4

因数分解した形で $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ を書き換えます。

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ステップ 4.2.4.1

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 4.2.4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.2.4.2.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 4.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{1}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 4.2.4.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}$

ステップ 4.3.1.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

ステップ 4.3.1.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (\frac{π}{2})}$

ステップ 4.3.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{1}$

ステップ 4.4

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{2} \sqrt{2}$

ステップ 4.5

$\sqrt{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

10進法形式：

$- 0.70710678 \dots$

微分積分 例

微分積分例