微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x - \frac{π}{2}}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

ステップ 1.2

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

ステップ 1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

ステップ 2.1.2

$\cos (x)$ と $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

ステップ 2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - π}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

ステップ 3.1.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.3.1.1

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

ステップ 3.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

ステップ 3.1.3.1.3

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

ステップ 3.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

ステップ 3.1.3.3.1.2

式を書き換えます。

$2 \frac{0}{π - π}$

ステップ 3.1.3.3.2

$π$ から $π$ を引きます。

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $x \cdot 2 - π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]$ です。

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.4.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 3.3.4.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 3.3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 3.3.4.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

ステップ 3.3.5

$- π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

ステップ 3.3.6

$2$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)$

ステップ 4.2

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

ステップ 4.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

ステップ 5

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 6.1.2

式を書き換えます。

$1 \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 6.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 6.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

微分積分 例

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