微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{8 \cos (x)}{\cot (x)}$

ステップ 1

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$8 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$8 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$8 \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

ステップ 2.1.3.3

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$8 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$8 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$8 (\frac{0}{0})$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \csc^{2} (x)}$

ステップ 2.4

2つの負の値を割ると正の値になります。

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\csc^{2} (x)}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

ステップ 3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

ステップ 3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\csc^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

余割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

ステップ 4

すべての $x$ に $\frac{π}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

ステップ 4.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$8 \frac{1}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$8 \frac{1}{1^{2}}$

ステップ 5.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$8 (\frac{1}{1})$

ステップ 5.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$8 (\frac{1}{1})$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$8 \cdot 1$

ステップ 5.4

$8$ に $1$ をかけます。

$8$

微分積分 例

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