微分積分例

$lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{\sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{x - \frac{π}{4}}$

ステップ 1

$x$ が $\frac{x}{4}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 2

$x$ が $\frac{x}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 4

$x$ が $\frac{x}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 5

$x$ が $\frac{x}{4}$ に近づくと定数である $\frac{π}{4}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 6

$x$ が $\frac{x}{4}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 7

$x$ が $\frac{x}{4}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}}$

ステップ 8

$x$ が $\frac{x}{4}$ に近づくと定数である $\frac{π}{4}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 9

すべての $x$ に $\frac{x}{4}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ を $\frac{x}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

ステップ 9.2

$x$ を $\frac{x}{4}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

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ステップ 10.1.1

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

ステップ 10.1.2

まとめる。

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 (\frac{x}{4} - \frac{π}{4})}$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

ステップ 10.3

約分で簡約します。

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ステップ 10.3.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

ステップ 10.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 (- \frac{π}{4})}$

ステップ 10.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.2.1

$- \frac{π}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

ステップ 10.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

ステップ 10.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

ステップ 10.4

分子を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$4$ を $4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)$ で因数分解します。

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ステップ 10.4.1.1

$4$ を $4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ で因数分解します。

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

ステップ 10.4.1.2

$4$ を $4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)$ で因数分解します。

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{x - π}$

ステップ 10.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1)}{x - π}$

微分積分 例

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