微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{(\frac{x}{(x + 1)}) - (\frac{4}{5})}{x - 4}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{x}{(x + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{4}{5})}{x - 4}$

ステップ 1.2

$- (\frac{4}{5})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{4}{5}) \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}{x - 4}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 1) \cdot 5$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{x}{(x + 1)}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} - (\frac{4}{5}) \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}{x - 4}$

ステップ 1.3.2

$\frac{4}{5}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} - \frac{4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

ステップ 1.3.3

$(x + 1) \cdot 5$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{5 (x + 1)} - \frac{4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

極限の独立変数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)} \cdot \frac{1}{x - 4}$

ステップ 2.1.2

$\frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)}$ に $\frac{1}{x - 4}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 5 - lim_{x \to 4} 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.2

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.4

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 (lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.5

$x$ が $4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 (lim_{x \to 4} x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.6

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 4 - 4 (lim_{x \to 4} x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.6.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 4 - 4 (4 + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1.1

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 4 (4 + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.7.1.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 4 \cdot 5}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.7.1.3

$- 4$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 20}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.7.2

$20$ から $20$ を引きます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 4} x + 1 \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 3.1.3.3

$x$ が $4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 3.1.3.4

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

ステップ 3.1.3.5

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

ステップ 3.1.3.6

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.6.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(4 + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

ステップ 3.1.3.6.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(4 + 1) \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

ステップ 3.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.7.1

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

ステップ 3.1.3.7.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot (4 - 4)}$

ステップ 3.1.3.7.3

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.7.4

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.7.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5 - 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5 - 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x \cdot 5 - 4 (x + 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \cdot 5] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [x \cdot 5]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.3.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.3.4

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 (x + 1)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x + 1]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.4.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.4.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.4.6

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.5

$5$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

ステップ 3.3.6

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 3.3.7

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 3.3.9

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 3.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 3.3.11

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 3.3.12

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 3.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 3.3.14

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (1 + 0)}$

ステップ 3.3.15

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) \cdot 1}$

ステップ 3.3.16

$x - 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + x - 4}$

ステップ 3.3.17

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x + 1 - 4}$

ステップ 3.3.18

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x - 3}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

ステップ 4.2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

ステップ 4.3

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 3}$

ステップ 4.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 3}$

ステップ 4.5

$x$ が $4$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}$

ステップ 5

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8 - 1 \cdot 3}$

ステップ 6.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8 - 3}$

ステップ 6.1.3

$8$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\frac{1}{5 \cdot 5}$

ステップ 6.2.2

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{25}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{25}$

10進法形式：

$0.04$

微分積分 例

微分積分例