微分積分例

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} - 27}{t^{2} - 9}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} - 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$t$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} - lim_{t \to 3} 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $t^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - lim_{t \to 3} 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.1.3

$t$ が $3$ に近づくと定数である $27$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.2

$t$ を $3$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $27$ をかけます。

$\frac{27 - 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.2.3.2

$27$ から $27$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$t$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $t^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

ステップ 1.1.3.1.3

$t$ が $3$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

ステップ 1.1.3.2

$t$ を $3$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{0}{9 - 9}$

ステップ 1.1.3.3.2

$9$ から $9$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} - 27}{t^{2} - 9} = lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $t^{3} - 27$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27]$ です。

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 27]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.4

$- 27$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 27$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.5

$3 t^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2}}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $t^{2} - 9$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ です。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2}}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2}}{2 t + \frac{d}{d t} [- 9]}$

ステップ 1.3.8

$- 9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2}}{2 t + 0}$

ステップ 1.3.9

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2}}{2 t}$

ステップ 1.4

$t^{2}$ と $t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$t$ を $3 t^{2}$ で因数分解します。

$lim_{t \to 3} \frac{t (3 t)}{2 t}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$t$ を $2 t$ で因数分解します。

$lim_{t \to 3} \frac{t (3 t)}{t \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{t \to 3} \frac{t (3 t)}{t \cdot 2}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t}{2}$

ステップ 2

$\frac{3}{2}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3}{2} lim_{t \to 3} t$

ステップ 3

$t$ を $3$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{3}{2} \cdot 3$

ステップ 4

$\frac{3}{2} \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{3}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 3}{2}$

ステップ 4.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{9}{2}$

10進法形式：

$4.5$

微分積分 例

微分積分例