微分積分例

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t}}{1 - e^{t}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 0} t e^{t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

ステップ 1.1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

ステップ 1.1.2.3

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0 \cdot e^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0 \cdot e^{0}}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

ステップ 1.1.2.4

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} 1 - e^{t}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} 1 - lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 1.1.3.1.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{1 - e^{lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 1.1.3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - e^{0}}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t}}{1 - e^{t}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t e^{t}]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t e^{t}]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

ステップ 1.3.2

$f (t) = t$ および $g (t) = e^{t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{t \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

ステップ 1.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t} \cdot 1}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

ステップ 1.3.5

$e^{t}$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{\frac{d}{d t} [1 - e^{t}]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $1 - e^{t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{t}]}$

ステップ 1.3.7

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{0 + \frac{d}{d t} [- e^{t}]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d t} [- e^{t}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- e^{t}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [e^{t}]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{0 - \frac{d}{d t} [e^{t}]}$

ステップ 1.3.8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{0 - e^{t}}$

ステップ 1.3.9

$0$ から $e^{t}$ を引きます。

$lim_{t \to 0} \frac{t e^{t} + e^{t}}{- e^{t}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{t \to 0} t e^{t} + e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

ステップ 2.2

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to 0} t e^{t} + lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

ステップ 2.3

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} e^{t} + lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

ステップ 2.4

指数に極限を移動させます。

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + lim_{t \to 0} e^{t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

ステップ 2.5

指数に極限を移動させます。

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} - e^{t}}$

ステップ 2.6

$- 1$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 2.7

指数に極限を移動させます。

$\frac{lim_{t \to 0} t \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 3

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0 \cdot e^{lim_{t \to 0} t} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{lim_{t \to 0} t}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 3.3

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 3.4

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{0}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0 \cdot 1 + e^{0}}{- e^{0}}$

ステップ 4.1.2

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{0 + e^{0}}{- e^{0}}$

ステップ 4.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0 + 1}{- e^{0}}$

ステップ 4.1.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{- e^{0}}$

ステップ 4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

ステップ 4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 1}$

ステップ 4.4

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- 1$

微分積分 例

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