微分積分例

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

ステップ 1.1.2.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

ステップ 1.1.2.1.3

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

ステップ 1.1.2.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $7$ を $t^{7}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{7}}$

ステップ 1.1.3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{7}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $e^{t} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

ステップ 1.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

ステップ 1.3.5

$e^{t}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

ステップ 1.3.6

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{7 t^{6}}$

ステップ 2

分子が正で、分母 $7 t^{6}$ が0に近づき、両側の $0$ に近い $t$ について0より大きいので、関数は境界なく増加します。

$\infty$

微分積分 例

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