微分積分例

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{t \cos (t)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (4 t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} 4 t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

ステップ 1.1.2.1.2

$4$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (4 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

ステップ 1.1.2.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \cos (t)}$

ステップ 1.1.3.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \cos (lim_{t \to 0} t)}$

ステップ 1.1.3.3

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.3.1

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{t \to 0} t)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

ステップ 1.1.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.4.2

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{t \cos (t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (4 t)]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (4 t)]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

ステップ 1.3.2

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = 4 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 t$ とします。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $4 t$ で置き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

ステップ 1.3.3

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) (4 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

ステップ 1.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) \cdot 4}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

ステップ 1.3.6

$4$ を $\cos (4 t)$ の左に移動させます。

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 t)}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

ステップ 1.3.7

$f (t) = t$ および $g (t) = \cos (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.8

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t) \cdot 1}$

ステップ 1.3.10

$\cos (t)$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t)}$

ステップ 1.3.11

項を並べ替えます。

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{- t \sin (t) + \cos (t)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t)}{- t \sin (t) + \cos (t)}$

ステップ 2.2

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$4 \frac{lim_{t \to 0} \cos (4 t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

ステップ 2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{\cos (lim_{t \to 0} 4 t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

ステップ 2.4

$4$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

ステップ 2.5

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \sin (t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

ステップ 2.6

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \sin (t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

ステップ 2.7

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

ステップ 2.8

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

ステップ 3

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

ステップ 3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

ステップ 3.3

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

ステップ 3.4

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

ステップ 4.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$4 \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (0)}$

ステップ 4.2.2

$0$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{1}{0 + \cos (0)}$

ステップ 4.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 \frac{1}{0 + 1}$

ステップ 4.2.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$4 (\frac{1}{1})$

ステップ 4.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{1}{1})$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$4 \cdot 1$

ステップ 4.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

微分積分 例

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