微分積分例

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (2 \sin (t))}{t}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (2 \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} 2 \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.1.2

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sin (2 lim_{t \to 0} \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.1.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (2 \sin (lim_{t \to 0} t))}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (2 \sin (0))}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.3.2

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.2.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

ステップ 1.1.3

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (2 \sin (t))}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (2 \sin (t))]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (2 \sin (t))]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.2

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = 2 \sin (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 \sin (t)$ とします。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 \sin (t)$ で置き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (2 \sin (t)) \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.3

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 \sin (t)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (2 \sin (t)) (2 \frac{d}{d t} [\sin (t)])}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.4

$2$ を $\cos (2 \sin (t))$ の左に移動させます。

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 \sin (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.5

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (2 \sin (t)) \cos (t)}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.6

$2 \cos (2 \sin (t)) \cos (t)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))}{\frac{d}{d t} [t]}$

ステップ 1.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))}{1}$

ステップ 1.4

$2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))$ を $1$ で割ります。

$lim_{t \to 0} 2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{t \to 0} \cos (t) \cos (2 \sin (t))$

ステップ 2.2

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2 lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} \cos (2 \sin (t))$

ステップ 2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} \cos (2 \sin (t))$

ステップ 2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (lim_{t \to 0} 2 \sin (t))$

ステップ 2.5

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (2 lim_{t \to 0} \sin (t))$

ステップ 2.6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (2 \sin (lim_{t \to 0} t))$

ステップ 3

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$2 \cos (0) \cdot \cos (2 \sin (lim_{t \to 0} t))$

ステップ 3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$2 \cos (0) \cdot \cos (2 \sin (0))$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1 \cdot \cos (2 \sin (0))$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot \cos (2 \sin (0))$

ステップ 4.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 \cdot \cos (2 \cdot 0)$

ステップ 4.4

$2$ に $0$ をかけます。

$2 \cdot \cos (0)$

ステップ 4.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.6

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

微分積分 例

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