微分積分例

$lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} - 3 n^{3}} - \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

ステップ 1

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} - 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} - 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

ステップ 3

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} - lim_{n \to 8} 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $n^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - lim_{n \to 8} 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

ステップ 5

$3$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 lim_{n \to 8} n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

ステップ 6

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $n^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

ステップ 7

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

ステップ 8

$n$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} + lim_{n \to 8} 5 n^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

ステップ 9

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $n^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + lim_{n \to 8} 5 n^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

ステップ 10

$5$ の項は $n$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

ステップ 11

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $n^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

ステップ 12

$n$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

ステップ 13

すべての $n$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

ステップ 13.2

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

ステップ 13.3

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

ステップ 13.4

$n$ を $8$ に代入し、 $n$ の極限値を求めます。

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

ステップ 14

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$8$ を $4$ 乗します。

$\sqrt[4]{4096 - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

ステップ 14.2

$8$ を $3$ 乗します。

$\sqrt[4]{4096 - 3 \cdot 512} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

ステップ 14.3

$- 3$ に $512$ をかけます。

$\sqrt[4]{4096 - 1536} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

ステップ 14.4

$4096$ から $1536$ を引きます。

$\sqrt[4]{2560} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

ステップ 14.5

$2560$ を $4^{4} \cdot 10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

$256$ を $2560$ で因数分解します。

$\sqrt[4]{256 (10)} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

ステップ 14.5.2

$256$ を $4^{4}$ に書き換えます。

$\sqrt[4]{4^{4} \cdot 10} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

ステップ 14.6

累乗根の下から項を取り出します。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

ステップ 14.7

$8$ を $4$ 乗します。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{4096 + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

ステップ 14.8

$8$ を $3$ 乗します。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{4096 + 5 \cdot 512 + 1}$

ステップ 14.9

$5$ に $512$ をかけます。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{4096 + 2560 + 1}$

ステップ 14.10

$4096$ と $2560$ をたし算します。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{6656 + 1}$

ステップ 14.11

$6656$ と $1$ をたし算します。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{6657}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{6657}$

10進法形式：

$- 1.91962505 \dots$

微分積分 例

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