微分積分例

$\frac{lim_{x \to 16} 4 - \sqrt{x}}{16 - x^{2}}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $16$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 16} 4 - lim_{x \to 16} \sqrt{x}}{16 - x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ が $16$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{4 - lim_{x \to 16} \sqrt{x}}{16 - x^{2}}$

ステップ 1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 16} x}}{16 - x^{2}}$

ステップ 2

$x$ を $16$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 - \sqrt{16}}{16 - x^{2}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 - \sqrt{4^{2}}}{16 - x^{2}}$

ステップ 3.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{16 - x^{2}}$

ステップ 3.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{16 - x^{2}}$

ステップ 3.1.4

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{16 - x^{2}}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{4^{2} - x^{2}}$

ステップ 3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{0}{(4 + x) (4 - x)}$

ステップ 3.3

$0$ を $(4 + x) (4 - x)$ で割ります。

$0$

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