微分積分例

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 2

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 5

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 7

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 8

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 9

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 9.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 9.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 9.4

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 5 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10.1.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 5 + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10.1.5

$9$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10.1.6

$- 7$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 5 + 9 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10.1.7

$1$ から $5$ を引きます。

$\frac{- 4 + 9 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10.1.8

$- 4$ と $9$ をたし算します。

$\frac{5 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10.1.9

$5$ から $7$ を引きます。

$\frac{- 2 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10.1.10

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

ステップ 10.2

$0$ を $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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