微分積分例

$lim_{x \to 8} \frac{x^{3} - 64 x}{x - 8}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 8} x^{3} - 64 x}{lim_{x \to 8} x - 8}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 64 x}{lim_{x \to 8} x - 8}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 64 x}{lim_{x \to 8} x - 8}$

ステップ 1.1.2.3

$64$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 64 lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 8}$

ステップ 1.1.2.4

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8^{3} - 64 lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 8}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8^{3} - 64 \cdot 8}{lim_{x \to 8} x - 8}$

ステップ 1.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1.1

$8$ を $3$ 乗します。

$\frac{512 - 64 \cdot 8}{lim_{x \to 8} x - 8}$

ステップ 1.1.2.5.1.2

$- 64$ に $8$ をかけます。

$\frac{512 - 512}{lim_{x \to 8} x - 8}$

ステップ 1.1.2.5.2

$512$ から $512$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 8}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $8$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{0}{8 - 8}$

ステップ 1.1.3.3.2

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 8} \frac{x^{3} - 64 x}{x - 8} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 64 x]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 64 x]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{3} - 64 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ です。

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

ステップ 1.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 64 x]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 64 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 64 x$ の微分係数は $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} - 64 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} - 64 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 64$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} - 64}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} - 64}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} - 64}{1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

ステップ 1.3.7

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} - 64}{1 + 0}$

ステップ 1.3.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} - 64}{1}$

ステップ 1.4

$3 x^{2} - 64$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 64$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 64$

ステップ 2.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 64$

ステップ 2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 64$

ステップ 2.4

$x$ が $8$ に近づくと定数である $64$ の極限値を求めます。

$3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 64$

ステップ 3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 64$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 64 - 1 \cdot 64$

ステップ 4.1.2

$3$ に $64$ をかけます。

$192 - 1 \cdot 64$

ステップ 4.1.3

$- 1$ に $64$ をかけます。

$192 - 64$

ステップ 4.2

$192$ から $64$ を引きます。

$128$

微分積分 例

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