微分積分例

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 1.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 1.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 1.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 1.6

$x$ が $1$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sqrt{1 + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.1.6

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{x^{2} - 1}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3.3

$0$ を $(x + 1) (x - 1)$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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