微分積分例

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[5]{x} - \sqrt[9]{x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 1

$x$ が $- 8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[5]{x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[9]{x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[9]{x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[9]{lim_{x \to - 8} x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 4

すべての $x$ に $- 8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $- 8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[5]{- 8} - \sqrt[9]{lim_{x \to - 8} x}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 4.2

$x$ を $- 8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[5]{- 8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 8$ を ${(- 1)}^{5} \cdot 8$ に書き換えます。

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ステップ 5.1.1.1

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[5]{- 1 (8)} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{5}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[5]{{(- 1)}^{5} \cdot 8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- 1 \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.3

$- 1 \sqrt[5]{8}$ を $- \sqrt[5]{8}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{- 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.4

$- 8$ を ${(- 1)}^{9} \cdot 8$ に書き換えます。

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ステップ 5.1.4.1

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{- 1 (8)}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.4.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{9}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} - \sqrt[9]{{(- 1)}^{9} \cdot 8}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[9]{8})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.6

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[9]{2^{3}})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.7

$\sqrt[9]{2^{3}}$ を $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2^{3}}}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[3]{\sqrt[3]{2^{3}}})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.8

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- \sqrt[5]{8} - (- 1 \sqrt[3]{2})}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.9

$- 1 \sqrt[3]{2}$ を $- \sqrt[3]{2}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} - - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.10

$- - \sqrt[3]{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} + 1 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.1.10.2

$\sqrt[3]{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x}$ を $x^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{5}} + \sqrt[9]{x}}$

ステップ 5.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[9]{x}$ を $x^{\frac{1}{9}}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{9}}}$

ステップ 5.2.3

$x^{\frac{1}{9}}$ を $x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{9}}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.3.1

$x^{\frac{1}{9}}$ を $x^{\frac{1}{5}}$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{4}{45}} + x^{\frac{1}{9}}}$

ステップ 5.2.3.2

$1$ を掛けます。

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{4}{45}} + x^{\frac{1}{9}} \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.3

$x^{\frac{1}{9}}$ を $x^{\frac{1}{9}} x^{\frac{4}{45}} + x^{\frac{1}{9}} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt[5]{8} + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

ステップ 5.3

$- 1$ を $- \sqrt[5]{8}$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt[5]{8}) + \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

ステップ 5.4

$- 1$ を $\sqrt[3]{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt[5]{8}) - 1 (- \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- (\sqrt[5]{8}) - 1 (- \sqrt[3]{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

ステップ 5.6

$- (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})$ を $- 1 (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2})}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

ステップ 5.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt[5]{8} - \sqrt[3]{2}}{x^{\frac{1}{9}} (x^{\frac{4}{45}} + 1)}$

微分積分 例

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